海天名师姜晓千、王立鹏解析2020考研数学一真题(文字版)

2019/12/24 11:37:41 来源: 海天考研
分享:

  海天名师姜晓千、王立鹏解析2020考研数学一真题:题型特点及全题目解读

  王立鹏:同学们,大家好,我们今天结束了2020考研的数学的考试,我们在第一时间拿到了这种数一的试卷,然后我跟晓千老师来给大家做一下数一的真题解析。晓千老师你先简单的介绍一下今年的题型还有它的特点。

  姜晓千:今年的考试,我如果说简单的话,大家肯定意见很大。今年的考试应该达到了咱们考研以来,难度的不能说是最高峰,也差不多,这个难度应该接近咱们2018年,感觉上和同学们反映上,跟2018年材料的情况不相上下,都很崩溃。但是大家也不要太伤心,永远是这样,高手永远是高手,对不对?高手始终是能体现水平的,所以说付出肯定是会有收获的。下面我就和王老师就把具体的题目给大家一一的讲解一下,看你做的怎么样。王老师先开始吧。

  王立鹏:第一个题它的就要是求的无穷小的阶数的一个问题,但是它给的都是变限积分,大家注意一下,都是变限积分的话,我们都求一阶导,然后求完导之后相当于阶数都降低了一阶,然后我们去比它降低一阶的比较的阶数就OK了。当然第一个相当于是个X的平方,第二个相当于是X的3/2次方,第三个相当于X平方,第四个相当于是X的。

  姜晓千:3/2次方再来个平方,对吧。

  王立鹏:3/2次方,所以它是3次方。所以答案就选择第四个。

  姜晓千:那么第二个题,第二题是典型的咱们第二章导数的定义,导数的定义咱们说如果比上X是可以的,你如果比这个次数低的话是不可以的。所以这个题A和B都是不行的,最终你发现,比上X可以的,然后C选项因为这个根号下X它次数明显低了一次,所以说比上X的极限就是零,都存在,说明它和X是同阶的,或者是等价的对不对?那么它肯定比根号下,也就是比那个1/2次方要高,高的话答案就是零,所以答案选C。

  王立鹏:第三题它考得比较有特色,它虽然上在考了一个全微分的定义,但是它结合着数一同学的专题来考的,考了点积和叉积,这个事好像很久没考过了,点积叉积,这个问题比较新,很多同学不知道点积和叉积的定义,实际上这个题就考了一个点积,点积就是对应分量相乘再相加了。叉积当然我们要用目前行列式来求了,i,j,k那种形式来写。但是这个题最后它最终转化成全微分的定义,就是FXY-F00-FX一撇00X-Y一撇00Y,所个这个题答案恰好比上根号下X方+Y方等于零,恰好答案应该选的是A选项。

  姜晓千:对,这个A选项展开以后,正好是可微的定义对吧?那么第四题就是咱们第七章,也就其实就是所谓的阿贝尔,只要是系数是抽象的,归根结底都要归功于阿贝尔。那么阿贝尔咱们说在内部是绝对收敛的,在外部它是发散的,因为它说它想发散,你必须不能落到内部,因为你落在内部它是绝对收敛的。所以X的绝对值你怎么着你得大于等于R,这个题答案选A。

  王立鹏:第五题它讲的是说,矩阵A经过初等变换得到B,然后问ABCD谁是正确的,当然我们选的答案是D了,它说AX=O和BX=0同解,我们知道AX=0和BX=0同解的必要条件是RA=RB=RAB,像是这样的话,我们就可以用初等变换来解释就OK了。

  姜晓千:第六题跟王老师刚才讲的第三题其实有点像,都比较新,又是典型的数一的特色,就是什么?就是咱们空间解析几何,直线。它说这两条直线相交于一点,相交于一点你可以用咱们的几何意义,就纯粹是几何意义。相交于一点就说明它的方向是相交的,相交肯定共面。然后紧接着既然相交于一点,说明L1和L2经过的那个的点,这两个点一旦连线以后,也在这个面上,因为这两条直线就在这个面上。这样的话,你发现这两个点有特色,L1经过的点,就是L2的方向向量。然后L2经过的点就是所谓的α3。这样的话,α3-α2正好也在这个面上,α1、α2就能表示α3-α2,把α2一消,说明α1、α2就能表示α3,对不对?这是它的几何意义,这个可以理解。如果说几何意义不熟练的话,那么咱们通过这个参数方程,前面和王老师讨论的时候也是,这个题挺漂亮,就是各个角度,但是都不是那么好想,对吧。你一构造参数方程,比如说L1让它等于T,因为它相交,相交的话比方说我取T1的时候咱们相交,L2让它等于T2,我取T2的时候咱们相交,这样L1、L2是个固定值,不管是1还是2,是个固定的值。然后把它移过去,移过去以后,那么XYZ能得到一个式子,这是第一个方程。第二方程又能得到一个式子,这两个方程都一样的,因为都是XYZ,这一连以后,你就会发现什么?就会发现α3明显就可以由α1和α2线性表示,就是这样的。所以最终的答案都是选C,不管哪个角度,都选C。

  王立鹏:这个题咱们顺便说一句,咱们去年考了一个题,考的是三个平面之间的关系,这个题它就变成了直线的关系。你看这个年代之间它还是有联系的,2019考的是平面,2020考的是直线。

  姜晓千:但这种题之前从来没考过,直线从来没考,所以这个题估计得分率会比较低。

  王立鹏:因为咱们很多同学们在复习的时候,对空间解析这一章复习的还是比较少,未来就是2021的考生,你们还是要多看看这章,空间解析几何这章。

  姜晓千:都不能大意。

  王立鹏:第七题它讲的是一个随机事件的概率。当然我们说,就是最简单一个概率的表示方法。我们可以用画图的思想来去做。这里面你只要表示出谁来?就是PAB=0,PABC=0,实际上它让我们求的是ABC恰好有一个发生,你画出图来,你就可以把A,B把、C把。同样道理还有B发生的就是A把B,C把。C发生就是A把、B把C,然后把三块表示出来,画出图来,这些我就OK了。答案选的是D。

  姜晓千:那么第八个题这种题是十几、二十年考一回,所以今年这个题肯定不超纲,但是这个知识点的这种考的频率,这种命题的新颖度,整体来说确实是让今年的考试达到一个比较难的程度,可以说达到高峰了。这是咱们中心极限定理,中心极限定理,快十几二十年的考题了。

  王立鹏:2001年考过一段。

  姜晓千:得有20来年了。这个中心极限定理,它这个问题咱们说就记住一句话,它本质上不管是棣莫弗—拉普拉斯,还是林德伯格-列维,归根到底它都是什么?都是把它看做正态。不就是近似的正态吗?那你看看,那么∑XI,那么它本来是什么?每一个它是0—1分布,放在一起因为独立,所以是不就是BNP?当然你说我就按照0—1分布,那可以,也可以乘,方向也可以乘,你也可以利用咱们第二章,0—1分布加到一起,就是所谓的二项分布,利用二项分布来做也行,怎么都行。反正你做完这一堆的期望是50,方差是25。然后你得标准化,把它看做正态不是吗?这就是中心极限定理,看做正态,标准化,标准化你去减去50。然后再比上∑,∑方是25,比上∑你就比上个5,这样的话这一堆减去比上5,右边减去50比上5就变成1了同学们。这一堆是个标准正态,看准。标准正态小于等于1的概率,那么就是大F1,答案选B,对不对,就这样。

  王立鹏:第九题实际上它是个标准求极限的题,这个对数一同学,我觉得给数一同学出有点不太合适了,还不如给数三的这个题,这就是无穷减无穷。

  姜晓千:这个不要欺负数三的,这个基础版的也就是,对不对,都很简单。

  王立鹏:这个题都应该会做,这个题等于-1,就是一通分,然后做一个公式就OK的。

  姜晓千:这个前面其实已经跟王老师已经做过数三的访谈了,这个题目都挺难,整体来说。但是就填空题,你真应该拿满分。你看看看下来之后,你会发现没有一道就是一点想法都没有的,绝对的。你只要稍微听我点课,同学们,绝对的。整个填空题不是咱们考试的难点,难的话就是选择和大题,相对来说难的多一点。像第十题,第十题不是参数方程吗?一直告诉大家,你记住那是X撇的3次方,分是Y两撇X一撇,对不对?你求完导一带就结束了,答案等于负的根2就可以了。

  王立鹏:11题它在讲了一个广义积分,但是它是按照微分方程的形式来给出来的,但是你看它应该是个抽象的形式,我们就不这么做了,然后我们把FX用它微分方程表示出来,我们把它反着带进去,然后我们进行这两个积分就OK了,然后相当于做两次分部积分就可以直接写结果的,这个题,恰好在2016年的时候,它也恰好考过一个相类似的。

  姜晓千:当时的所谓压轴大题。

  王立鹏:但是现在就变成选择题了,这还是体现出真题的重要性来,大家一定还是要反复的多做真题。这题答案是N加上A倍的M。

  姜晓千:这个12题,这是一个变限积分,是不是?因为有两个变量,所以最终求的是二阶混合偏导。咱们知道求偏导或者求导的时候,那么咱们就应该是比方对X求的时候,里边被积函数绝对不能有X对不对?如果有的话怎么办?换元对不对?好,这是一个方法,换元以后把X换掉,换掉以后,然后对X开始求了,对不对?就这样,然后待会去对Y求,但是咱们也说什么?就是二阶混合偏导是不是连续必相等?因为咱们长期函数,指数函数什么?永远可导,对不对?是吧?永远连续对不对?因为它永远可导。 所以说你可以先对Y求,先对Y求的话,被积函数没有Y所以直接导就可以了,所以这个题真正高水平的话,运筹帷幄的话,先对Y求,对不对?用一下第5章,二阶混合偏导,连续必相等,这是这个题的亮点,答案是41。

  王立鹏:13题,它是整个在线性代数里是今年考试最简单的一个题,直接求一个4阶行列式,我们用一些行列式的性质,再用行内的行展开。

  姜晓千:可以直接展开就行,对吧?

  王立鹏:这种题就直接做了,这题真的没有什么难点,就等于A的4次方减4A平方,对。

  姜晓千:那么14题,是典型的咱们概率统计第四章数字特征的,你先想到CAV的公式,那是不等于乘积的期望,减乘积的成绩,对不对?好,这里边有一点就是乘积的期望,乘积的期望就是X乘Y,Y是什么?X,这是不是变成一维连续型随机变量,也就是求X函数的期望,什么大X改为小X,函数超、概率密度超、一积分就行了,对不对?另外后方有个期望的乘积,X是均匀的,期望等于2/A加B,你发现对称零后方不用做,所以最终答案是π/2就结束了。 好,这是咱们的填空题,整体来说最容易拿分的就是咱们这6道填空题这24分,应该又快又准,对不对?

  王立鹏:这24分基本能拿满分了。

  姜晓千:对,是应该的。

  王立鹏:15题它讲了一个无条件的极值,而且这是一个非常简单的题,让大家去求驻点,求出驻点来之后,我们算AC、减B平方,然后根据判别式去判定它有无极值,这是这一个比较规范的题。

  姜晓千:16题,这是典型的咱们的第二类曲线积分,对不对?那么第二类曲线积分咱们一共是四大方法,第一就是公式,对吧?第二是格林用的多,是吧?另外用格林的时候你得注意细节,那么它的细节第一就是如果曲线不封闭,必须封闭,对不对?如果偏导必连续,必须把这个点给挖掉。就这样。好,另外还有方法就是改变积分路径,还有方法就是曲线积分往里带,化解被积函数,对不对?什么四大积分法是吧?经常说的这个题你就感觉上用什么还是用格林好一点?但用格林好一点,这不是出现一个问题吗?就是关键考点,被积函数它围的区域被积函数经过0,0点的时候是个0,分母是个0,所以这个时候你是不是把这个点给挖掉?这么挖一个椭圆,椭圆的话,这个半径挖个1或者挖1/2,或者挖个所谓的,是不是都可以,然后挖掉以后,然后中间的用一次格林,内部的用一次格林,再用两次格林就OK了。 是吧?就这样。

  王立鹏:17题它在讲了一个数列,它数列的给了一个递推关系,它说N加1,N加1=N加二分之一aN,像我们可以去求aN加1比N了,他们去取局限1了,等于1的话,幂级数它是说在收敛半径一之内,它应该是绝对收敛的。这第一问就是说比较简单,我的收敛半径是一,小于1的时候必收敛。第二个,让我们求和函数,这种题求和函数的时候,它要转化成微分方程来去求,我们给出求出这个和函数,设出X,S来,求出S一撇X来,我们最终推导出一阶线性微分方程来,然后从通过一阶线性微分方程来求出和函数。

  姜晓千:好,那么18题是典型的咱们数一,就是第二类曲面积分,那么大家对见到第二类曲面积分三大方法对不对?公式一投、二代、三定号,对不对?另外高斯又来了,曲面不封闭是不是应该不变对吧?不连续是不是应该挖点,对不对?两个关键点。然后第三种方法,曲面方程往里带,你不管有没有方程被积函数都在曲面上,这你必须承认,所以曲面方程往里带,这个题我跟大家说有亮点,亮点是什么?基本上100%的同学上来,你先想高斯对不对?但是你发现致命的点来了,就是所谓的亮点就来了。小F是个连续函数,连续函数能求导吗?当然不能求了,从第一章就告诉咱们小F连续坚决不能,对不对?好了,所以这个题坚决不能要高斯,用高斯上来就0分,那怎么办?用公式,只能用公式,就是一投、二代、三定号对不对?用公式的话投影到三个平面上太慢了,咱们说是不是有个三合一公式?是不是?P乘上偏C1撇X加上Q乘上偏Z偏Y好,再就是R乘上个负1还记得,因为它取下侧对吧?一投、二代、三定号。就这样,好。那么这个题你转化用这个公式以后,你会发现什么?你会发现小F就抵消了,小F抵消了,就转化成二重积分了,二重积分奇偶性性引用,因为前面这一次方式就抵消了,对不对?抵消以后是个圆环,对吧?好了,奇偶性引用,然后咱们的极坐标变换,一换,二重积分就做出来了,这个题就完美了,这个题最大亮点就是不能用高斯,这个题得用公式,一投、二代、三定号,把它都投影到XOY平面上最好,对吧?

  王立鹏:就这样补充一下,姜老师,咱们这个题实际上主要他体现出一投、二代、三定号的时候它是什么?它就是第一类曲面积分和第二类曲面积分之间的联系。 当然很多同学说我们只会做第一类曲面积分,要么只会做第二类曲面积分,这个事就不好了,就把这联系你们看好了,这事就OK了。

  19题它在考了一个微分中值定理,实际上咱们给大家已经提示过,你看19年它考研的时候考了一个微分中值定理,数二同学考了,我们说今年数一数三同学你们要特别小心微分中值定理,我不写它果然还出了。实际上这个题它说了,告诉我们F0和F2=0,还告诉我们最大值是大M,在0~2之间的时候,FX绝对值。那我们就把这个点设出来,FC的绝对值等于大M,然后你就用0、C、2三个点做两次拉氏定理,FC减F0做一次,当然应该加上绝对值,还有是F2绝对值减FC的绝对值再做一次,像这个时候把这两个条件一加,然后我们就可以得到第1个结果。第2个当然更简单,你可以做一个反证法,就自然得到了第2问的结果了。

  姜晓千:20题和21题前面和王老师也一直沟通这个事,今年其实最难的题是20题和21题,是不是?

  王立鹏:今年的太难了。

  姜晓千:比较新是吧?比较新。这个20题你想做好得益于什么?你得19年那个题学的特别好,19年线形代数第二道题是什么?是不是相似对角化的传递问题是吧?A相似对角化于λ,B相似对角化于λ,这样的话一传递,AB就相似了,把P1P2把它放到一起,是不是得到所谓的P了,对不对?19年的题这个咱们反复地讲,那么20年的题它就考了一个是正交相似对角化,那么正交相似对角化,肯定正交相似对角化,因为Q更猛,对不对?

  好,那么这个题第一问,先求A和B,求A和B不用先求特征值,有的他非得说老师我用特征方程解出来,不用,第一问不用,第一问很轻松,因为咱们正交相似对角化肯定相似对角化,那么最终相似的话肯定有相同特征值,有相同的特征值,是不是肯定有相同的迹,相同的行列式对不对?这样的话也就是主对角线元素的和行列式相同,小于小B水到渠成去解决了。小于小B一旦解决了以后,那么B方程的这个系数最终它的二次型的矩阵就出来了,所谓这个大B是不是就OK了,对不对?

  那么这样的话,你就是Q1的转制AQ1等于兰姆达,对不对?正交相似对角化Q2的转至BQ2等于兰姆达,这一传递就得到中间的Q1、Q2,是不是?最终得到Q就行了?就比咱们多了个正交相似对角化。你说难,其实我跟他说多了这么一个点,

  王立鹏:一点点。

  姜晓千:对,一点点,但是它有二维的是吧?二维的又好做一下对吧?因为2019年是三维的,对不对?那个计算量其实超过这个题,只不过这个题,感觉上,综合度,就是考点比那个要多一些,对吧?

  王立鹏:要难一点点,对。

  姜晓千:难想一点,综合度高一点,但计算量要小一点,就这样。

  王立鹏:这个21题相当于也是在现代里面比较难的一个题。

  姜晓千:对,应该超过20题了是不是?

  王立鹏:超过20题了。

  姜晓千:对,超过20题了。

  王立鹏:它说A是一个二阶矩阵,它说P是α、Aα,它让我们α是非零向量,不是A的特征向量,然后让我们说P是可逆矩阵,因为它是二阶的,说实话相对来说简单一点了,你只要说什么α和Aα线性无关,两个向量线性无关,充分必要条件就是它们不成比例,反证法的思想吧。然后就是Aα和α线相关,线相关的就是Aα等于拉姆贝(19:32音)的α,这不就恰好满足了,α是特征向量了嘛。

  当然你也可以用线性无关的定义去做,也是一样的。是K1α加上K2Aα,去找矛盾,去证明这个K1、K2。

  姜晓千:对。

  王立鹏:只有同时为零才可以。第二问这个题它说满足A方α加Aα减6α等于0,让我们求P0AP。这个题当然难度相对来说比较大了,我们的主要思想是什么?实际上我告诉大家,当你想不到问题的时候,你一定要去想第一问,人家为什么跟你第一问,对不对?

  姜晓千:对,阶梯式的题嘛。

  王立鹏:就是阶梯性的题目,你必须先看第一问,你才可能会做第二问,人家出题还是比较有策略的,如果这个题真的上来直接给你第二问,那难度又大了,那就变成竞赛题了。

  姜晓千:对。

  王立鹏:实际上这个题我们说了,你就可以这样来写了,直接A乘以α、Aα等于Aα、A方α,然后这个时候A方α又换成了负的Aα加6α,这个时候就可以用矩阵乘法,α、Aα就可以等于01,在01,这个负61,然后它和这个矩阵是相似的了,我们就可以找到B了。有了B,A和B是相似的,B的特征值求出来,然后你就可以求出A的特征值,A和B相似,那么B能相似对角化,所以A也就可以相似对角化,这题比较新颖。

  姜晓千:对,好,那么概率统计的题,数一的22题也是有一点难度的,这个一点难度的是什么呢,就是没有多么崩溃,就大家做这种题做的少,就第一问,尤其第一问,第二问还好,尤其第一问,它求X1和Y的分布函数,多少年,几十年就没见是不是?

  王立鹏:二维的很少考。

  姜晓千:求二维的分布函数很少这么考,一般求一维的对不对?

  王立鹏:对。

  姜晓千:好,求二维的分布函数及少考,它考的是X1和Y,那么Y是这一大堆,有的上来就蒙了,他说这哪会?做往里带,那就是P,所谓的大X小于等于小X,这个大X就是X1,对不对?所谓的大Y小于等于小Y,大Y就是这一堆,对不对?往里带,带上以后亮点是什么?所谓的亮点就在这了,这一堆看作一个整体,这所谓那个A,里头你要干什么?因为这里边有X3,同学们,X3是个离散的,咱说这种题,离散和连续的,这个题是两个连续的,一个离散的,你给三个连续的也行,无所谓,这种题的突破口永远在什么?是不是永远在这个离散上,对不对?永远在这个离散上。用离散的是不是用全概率公式对不对?你导致A发生,是不是有B1、B2、B3,你离散的可以好多值,这都可以接受,都是这类题对吧?你把它展开嘛, 展开以后你就X3等于0的时候,把这个事件求一下,X3等于1的时候再求一下,最终求完以后你会发现什么呢?你会发现最终这个分布函数是什么?是大FX乘上大FY,这是标准答案,你看看你这一问,你想到了用这个全概率公式,求这个联合分布函数吗?好,这是这个题比较难的地方,用全概率公式求联合分布函数,极少这么考,这概率统计这个题也比较新,是不是?

  王立鹏:太少了。

  姜晓千:太少了。好了,第二问求Y的,Y是标准正态分布,其实它是提示咱们了,不提示咱自己再做出来,对不对?好,那就大Y小于等于小Y,这个其实比第一问就简单了,同学们,只求Y自己,对不对?是求Y自己,那就是大Y小于等于小Y,刚才是联合的,现在只需要求自己的,然后全概率公式继续往下做,这个你可行?真行,因为就是Y自己的,X3它是离散的,全概率公式,对不对?往下做,最终做完以后,那么它的分布函数就是大FY,这样的话,最终答案刚刚好,它是标准正态分布就行了。

  王立鹏:我给姜老师补充一句,实际上咱们第二问这样做挺好,但是你可以用一下第一问,还是跟刚才21题的道理是一样的,你求出了二维的分布函数,你用F大Y小Y,这相当于边缘分布了,你X1去一个正无穷,这题结束了。

  姜晓千:对,这个说的有道理,对,我插一句,这个题用全概率公式可以推这个边缘的对不对?分布函数是吧?

  王立鹏:对。

  姜晓千:但是其实因为你推出来以后,有了联合分布以后是不是一积分就能得到边缘了,对不对?

  王立鹏:对,就用第一问的结论。

  姜晓千:刚才王老师说的这个其实更简单一点,是吧,很好。

  王立鹏:这思想我觉得,还是大家注意,我现在想说一个观点是什么?就是第一问做完了一定看看第二问。

  姜晓千:对,这个做上以后就比刚才分布函数法,感觉能更快点,是不是?

  王立鹏:更快一点,思想是一样的。

  姜晓千:对,所以答案是一致的。

  王立鹏:正好还是,你FX乘FY,然后F,正无穷等于1,那正无穷1乘以FY不就是FY了吗?直接就是一个标准正态,这样说的更漂亮一些。

  姜晓千:对。

  王立鹏:23题,它这个题属一个中规中矩的题,它给了一个T的分布函数,我们求导就求出密度函数来,对吧?但是它让我们求P,大T大于小T的概率,那我可以反过来写,就是用对立事件去写,那是1减去P,大T小于等于小T,这不就把分布函数写出来了吗?代入就可以了。第二问是P大于S+T,在T大于S的条件下,这直接写条件概率,方法和第一问的方法是一样的。这个题你就别上当,因为我们大家为什么说容易上当呢?你容易写成无记忆性。因为我们在指数分布的时候,它是无记忆的,跟它长得像,但是你用了无记忆性的反而就错了。为什么?就因为它这个分布函上它有一个M。

  姜晓千:M,对吧?一般没有M的话是指数分布对不对?

  王立鹏:就完全没问题了。

  姜晓千:对,就很完美。

  王立鹏:第二问就是我们讲的一个中规中矩的一个题,最大似然工具,让所有的老师只要押题,他都能押这问,最大似然工具。最大似然工具有了密度函数,我们求似然函数、取对数求导数令它等于0,这个结果就搞定了。

  姜晓千:对。

  王立鹏:姜老师对这个考试进行总结。

  海天名师姜晓千、王立鹏解析2020考研数学一真题:真题总结及21备考建议

  姜晓千:咱们20的奋斗的一点了,同学们,虽然题比较难,但是还是回到咱们的主题,就是付出了肯定有收获,水平高的话,能做出来的题得的分数还是要高,今年的分数线肯定不会高,所以大家放松心态,好好放松几天。那么21的同学就从中获取经验,踏踏实实的听课,使劲的刷题,课好好的听,题目踏踏实实的做,你会发现有些几十年不考的题,现在随着考研压力越来越大,所以这个题目肯定在变的,因为人数还是那些,学校还是那么大,对不对?招的人数基本上还是那么多,所以说最终通过题目的难度,包括分数线的提高等等各方面的来选拔,所以说一定要踏踏实实的,好不好,还是希望咱们20的同学考得再好一点,付出都能有好的收获。

  王立鹏:下面咱们再对21的考生咱们简单总结总结,就说大家应该去复习什么?我觉得这个数一的同学们,咱们还是多对自己专门考的东西,你要单独的去看,你看今年里面考的特别多,比如说它考了点积叉积,这个概念很久没考过了。再有就是咱们考的空间直线。我觉得它今年考了空间直线,明年就有可能考空间曲线,就空间解析几何这些东西有可能是连续的,你看它去年考了空间平面,今年考了空间直线,明年可能考空间曲线,后年可能考空间曲面,这种东西都是连续性的,咱们要去有这个想法的。

  姜晓千:面面俱到的是吧?

  王立鹏:面面俱到的,咱们要去想这个事,尤其是数学同学,咱们考的特别多,你看咱们今年里面它还考了什么?就是曲线积分、曲面积分,这些东西现在基本上形成一个必考的东西了,而且难度越考越大。姜老师刚才讲的18题,我们觉得很典型了,很多同学拿起来就高斯公式。

  姜晓千:上来就0分。

  王立鹏:我们很多同学就直接高斯了,那你就没希望了,是吧?一定要找抓住好这知识最本质的东西。好,咱们就到这里吧。

  姜晓千:一切顺利。

  王立鹏:好。

  2024考研人数已公布,达438w,考研热度依旧火热!如何备战2025考研?哪个考研专业适合自己?在职考生如何备考?考研知识点繁多,择校困难大,和海天考研咨询老师聊一聊。网课面授多项选,专业辅导1对1全年集训随时学!

中间广告图.jpg

活动专题